Прораб говорит отдать заявление ему, а директор в другом городе

Через прораба можно, но доказать потом, что заявление вообще было, будет нечем. Если прораб не может поставить отметку о приёме, отправьте сами почтой на юридический адрес фирмы. Имя директора и адрес есть в выписке из реестра юрлиц, она бесплатная, ищется по ИНН, а ИНН стоит в вашем расчётном листке или в договоре.
Про договор: просите не «новый экземпляр», а «заверенную копию трудового договора от такого-то числа», так быстрее и понятнее кадрам. И напишите, как хотите получить: лично на объекте или почтой по вашему адресу. А размокший экземпляр не выкидывайте, пусть сохнет и лежит в папке.

Прорабу на объекте бумажки отдавать, это лотерея. Сам по объектам хожу, знаю.

У нас на заводе тоже всё «через мастера» передавали, и половина таких бумажек терялась в шкафчике в раздевалке. Я, когда сам был мастером, говорил ребятам: несите в отдел кадров сами и просите номер. Почта сейчас недешёвая, но потерянное заявление обходится дороже.

Заказное с уведомлением, а лучше ценное с описью. Опись покажет, что именно лежало в конверте.